منتدى مدرسة ظهر العبد
عزيزي الزائر / عزيزتي الزائرة يرجي التكرم بتسجبل الدخول اذا كنت عضو معنا
او التسجيل ان لم تكن عضو وترغب في الانضمام الي اسرة المنتدي
سنتشرف بتسجيلك
شكرا
ادارة المنتدي

منتدى مدرسة ظهر العبد

منتدى تعليمي في كافة المواد المنهجية واللامنهجية
 
الرئيسيةالرئيسية  البوابةالبوابة  التسجيلالتسجيل  دخولدخول  
- النجاح سلم لا تستطيع تسلقه ويداك في جيبك... - من يحاول يمسك الشمعة من شعلتها .. يحرق يده ..- العواصف الشديدة تحطم الأشجار الضخمة ..ولكنها لا تؤثر في العيدان الخضراء التي تنحني لها..- قد تنسى من شاركك الضحك ..لكن لا تنسى من شاركك البكاء ..- احترس من الباب الذي له مفاتيح كثيرة ..- إن الناس لا يخططون من أجل الفشل ... ولكنهم يفشلون فقط في التخطيط ..- لا تكن حلوا فتؤكل .. ولا تكن مرا فتلفظ. ..- لو رأينا أنفسنا كما يراها الأخرون لما تحدثنا لهم لحظة ..- الإبتسامة كلمة طيبة بغير حروف.. - الذين يقاومون النار بالنار ..يحصلون عادة على الرماد ...- الضربات القوية تهشم الزجاج فقط .. لكنها تصقل الحديد ..- العاقل من يضع قارباً يعبر به النهر.. بدلاً من أن يبني حوائط حول نفسه تحميه من فيضانه..- تعلم قول لا أدري .. فإنك إن قلت لا أدري علموك حتى تدري ... وإن قلت أدري سألوك حتى لا تدري ...- ضعف الحائط .. يغري اللصوص ..- من يفقد ثروة يفقد كثيراً ..ومن يفقد صديقاً يفقد أكثر .. ومن يفقد الشجاعة يفقد كل شئ ..- أبتعد قليلاً من الرجل الغضوب .. أما الصامت فابتعد عنه إلى الأبد ..- من ينل ينسى ... أما الذي يريد فيفكر طويلاً ..- لا تفكر في المفقود .. حتى لا تفقد الموجود ..- إذا شاورت العاقل صار عقله لك ..- متى أحسنت بتقسيم وقتك ...كان يومك كصندوق يتسع لأشياء كثيرة ..- الكلمة الطيبة ليست سهماً ... لكنها تخرق القلب ..

شاطر | 
 

 شرح مبسط لدروس " مبدا العد + التباديل + التوافيق " مع امثلة حادي عشر ادبي

استعرض الموضوع السابق استعرض الموضوع التالي اذهب الى الأسفل 
كاتب الموضوعرسالة
بحر الحب



عدد المساهمات : 6
نقاط : 18
الشكــر : 0
تاريخ التسجيل : 13/01/2012

مُساهمةموضوع: شرح مبسط لدروس " مبدا العد + التباديل + التوافيق " مع امثلة حادي عشر ادبي   2012-07-02, 5:06 am

الدرس الاول ::

مبدأ العد الاساسي ::





العد من المهارات الاساسية في الرياضيات , فكثيراً ما تواجهنا مسائل يحتاج حلها الى اجراء عمليات عد بطرق مختلفة , و من ذلك مثلا معرفة عدد طرق ترتيب اربعة كتب مختلفة على رف , او معرفة عدد طرق اختيار فريق لكرة السلة مكون من خمسة لاعبين من بين اثنى عشر لاعباً , او معرفة عدد طرق اختيار عينة خماسية من مجتمع احصائى مكون من 200 شخص او .........الخ.

للاجابة عن هذه المسائل و غيرها سنتعرف على استراتيجيات مختلفة للعد
, وسنبدأ اولا بالتعرف على ما يسمى بمبدأ العد الاساسي .

مثال(1) ::
كم عددا مكونا من منزلتين يمكن تكوينه بحيث نختار رقم الاحاد من بين عناصر المجموعة (2 ,3,8 ) ورقم العشرات من بين عناصر المجموعة (5 , 4 ) ؟

الحل::
يمكن استخدام الشجرة البيانية لاجراء احصاء فعلي لجميع الاعداد الممكنة هكذا::
_2_45_4_5448
____58


اذن عدد جميع الاعداد الناتجة = 6
لاحظ ان هناك 3 طرق مختلفة لاختيار رقم الاحاد
و ان هناك طريقتين مختلفتين لاختيار رقم العشرات مقابل كل طريقة من الطرق الثلاثة الاولى
فيكون لدينا 3*2=6 طرق مختلفة لاختيار رقمي الاحاد و العشرات

يوضح المثال السابق مبدا العد الاساسي و الذي يمكن صياغته على النحو التالي ::

اذا امكن اجراء عملية مركبة على مرحلتين , وكان عدد طرق اجراء المرحلة الاولى هو ن 1 ,و كان عدد طرق اجراء المرحلة الثانية هو ن2 , فان عدد طرق اجراء العملية بالمرحلتين معا هو ن1*ن2

و يمكن تعميم المبدأ لاكثر من مرحلتين كما في المثلة الاتية ::

مثال(2) ::
يقدم احد المطاعم 4 اصناف من اللحوم , و3 اصناف من السلطات , وصنفين من الحلوى كم عدد الاختيارات الممكنة لوجبة غذائية مكونة من صنف واحد من كل نوع ؟
الحل ::
اختيار صنف من اللحوم يمكن ان يتم بثلاثة مراحل ::
اولا :: اختيار صنف من اللحوم و يتم باربع طرق
ثانيا:: اختيار صنف من السلطات و يتم بثلاث طرق
ثالثا:: اختيار صنف من الحلوى و يتم بطريقتين
اذن عدد طرق اختيار الوجبة الغذائية = 4*3*2=24 طريقة


مثال (3)::
صندوق فيه 8 كرات مختلفة سحبت 3 كرات الواحدة تلو الاخرى . جد عدد طرق سحب الكرات الثلاث اذا كان السحب ::
أ‌-دون ارجاع
ب‌-مع ارجاع

الحل ::
أ‌-السحب دون ارجاع
عدد طرق سحب الكرة الاولى =8
عدد طرق سحب الكرة الثانية =7
عدد طرق سحب الكرة الثالثة =6
اذن عدد طرق سحب الكرات الثلاث =8*7*6=336 طريقة


ب‌-السحب مع ارجاع
عدد طرق سحب الكرة الاولى=8
عدد طرق سحب الكرة الثانية =8
عدد طرق سحب الكرة الثالثة =8
اذن عدد طرق سحب الكرات الثلاث =8*8*8=512 طريقة


تمارين ومسائل للذي او للتي تحب ان تجيب ::

1- لحديقة 4 ابواب بكم طريقة تستطيع نادية الدخول للحديقة من احد الابواب و الخروج من الباب آخر؟

2- يعمل في شركة 8 مهندسين , 3 فنيين , 24 عاملا . بكم طريقة يمكن تكوين فريق عمل مكون من مهندس و فني و عامل ؟

3- اراد شخص السفر من نابلس الى بيت لحم , فاذا كان امامه 3 طرق مختلفة للسفر من نابلس الى رام الله , و طريقتان مختلفتان للسفر من رام الله الى بيت لحم , فبكم طريقة يمكنه السفر من نابلس الى بيت لحم مارا برام الله ؟




الدرس الثاني ::
التباديل ::


ان من اهم التطبيقات لمبدأ العد الاساسي استخدامه في معرفة عدد طرق التي يتم بها ترتيب عناصر مجموعة ما بكل الطرق الممكنة فمثلا اذا كان لدينا 3 كتب مختلفة هي :: رياضيات , فيزياء , احياء . واردنا ترتيبها متجاورة على رف بكل الطرق الممكنة فاننا نحصل على التراتيب التالية ::

المكان الاول المكان الثاني المكان الثالث
رياضيات فيزياء احياء
رياضيات احياء فيزياء
احياء رياضيات فيزياء
احياء فيزياء رياضيات
فيزياء رياضيات احياء
فيزياء احياء رياضيات

اذن عدد التراتيب =6
نسمي كل تريتب تبديلاً

بوجه عام ::
تعريف ::
التبديل لمجموعة مكونة من ن من العناصر هو اي ترتيب لعناصر هذه المجموعة يرمز لعدد جميع هذه التراتيب (التباديل) بالرمز ل(ن,ن).


مثال(1)::
اراد اربعة اشخاص اخذ صورة جماعية بوقوفهم معا في صف واحد بكم طريقة مختلفة يمكن ان يصطف هؤلاء الاشخاص ؟؟

الحل::
الطرق المختلفة لاصطفاف الاشخاص هي التباديل المختلفة لمجموعة مكونة من اربعه عناصر اي ل(4,4) ولايجاد ل(4,4) يمكننا تصور المواقع الاربعة التي يقف بها الاشخاص الاربعة هكذا ::
يمكن اشغال الموقع الاول بِ4 طرق
يمكن اشغال الموقع الثاني بِ3 طرق
يمكن اشغال الموقع الثالث بِ2 طرق
يمكن اشغال الموقع الرابع بِ1 طرق

عدد جميع الطرق = 4*3*2*1=24 طريقة
اي ان ل(4,4) = 4*3*2*1=24


و بوجه عام ::
اذا كانت س مجموعة عدد عناصرها ن , فان عدد تباديل (تراتيب) هذه العناصر يساوي ل(ن,ن) = ن(ن-1)(ن-2)* . . . *3*2*1
و اختصارا في كتابة حاصل الضرب ن(ن-1)(ن-2)* . . . *3*2*1 فاننا نكتبه على صورة ن! وتقرأ مضروب ن ((n factorial

تعريف ::
اذا كان عددأ صحيحيا موجبا فان مضروب فان مضروب ن (ويرمز له بالرمز ن! ) يعرف هكذا::
ن!= ن(ن-1)(ن-2)* . . . *3*2*1
0! = 1
اي ان مضروب ن يساوي حاصل ضرب ن من الاعداد الطبيعية المتتالية تبدأ بالعدد ن و تنتهي بالعدد 1


مثال (2)::
جد ناتج 5!
الحل::
5!=5*4*3*2*1=120

مثال (3)::
بين ان 8!=56*6!
الحل::
الطرف الايمن
8!=8*7*6*5*4*3*2*1
=8*7*(6*5*4*3*2*1)
=8*7*6!
=56*6!


مثال (4)::
اكتب كلا مما يلي باستخدام رمز المضروب
أ- 5*4*6*3*1*2
ب- 10*9*8
ج- ن(ن^2-1)

الحل::
أ‌- 5*4*6*3*1*2 =6*5*4*3*2*1=6!
ب‌- 10*9*8 = 10*9*8*7!\7! =10!\7!
ج- ن(ن^2-1) = ن(ن-1)(ن+1)
= (ن+1)*ن*(ن-1)
=(ن+1)*ن*(ن-1)*(ن-2)!\(ن-2)!
=(ن+1)!\(ن-2)!

مثال (5)::
اذا كان ن! = 720 فما قيمة ن ؟

الحل::
ن! = حاصل ضرب ن من الاعداد الطبيعية المتتالية اكبرها ن و اصغرها 1 لذا نكتب الطرف الايسر على صورة حاصل ضرب عوامل متتالية اصغرها 1 فيكون اكبرها ن .
720 = 6*5*4*3*2*1 = 6!
ن = 6

ملاحظة ::
تم اخراج العوامل عن طريق التحليل
270/1=270
270/2=360
360/3=120
120/4=30
30/5=6
6/6=1


مثال (6)::
اذا كان ن!\(ن-2)! = 20 فما قيمة ن ؟

الحل::
ن!\(ن-2)! =20
ن(ن-1)(ن-2)!\ (ن-2)! =20
ن(ن-1) = 20
ن^2-ن-20 = 0
(ن-5)(ن+4)=0
ن = 5 , -4 و يرفض الجواب السالب
اذن ن = 5


تباديل ن من العناصر المختلفة مأخوذة راءً راءً ::
في كثير من الاحيان نهتم بترتيب بعض عناصر مجموعة من الاشياء المختلفة و ليس جميعها فاذا كان لدينا 4 كتب هي :: علوم , رياضيات , جغرافيا , اقتصاد و اردنا ترتيبها اثنين اثنين في كل مرة فان التراتيب الممكنة هي ::

علوم , رياضيات
علوم , جغرافيا
علوم , اقتصاد

رياضيات , علوم
رياضيات , جغرافيا
رياضيات , اقتصاد


جغرافيا , علوم
جغرافيا , رياضيات
جغرافيا , اقتصاد

اقتصاد , علوم
اقتصاد , رياضيات
اقتصاد , جغرافيا

اي ان عدد تباديل اربعة اشياء مأخوذة اثنين اثنين في كل مرة يساوي 12 و بالرموز ل(4,2)

وبوجه عام ::
يستخدم الرمز ل(ن,ر) للدلالة على تباديل ن من الاشياء المختلفة مأخوذة راءً راءً في كل مرة

مثال (7)::
اشترك 6 متسابقين في المونديال الاول للرياضيات . بكم طريقة يمكن ان تظهر فية نتيجة السباق للمراكز الثلاثة الاولى علما بأنه لم يحل اثنان في المركز نفسه ؟

الحل::
يمكن ملء المركز الاول بِ 6 طرق
يمكن ملء المركز الثاني بِ 5 طرق
يمكن ملء المركز الثالث بِ 4 طرق
اي يمكن ملء المراكز الثلاثة الاولى بطرق عددها 6*5*4=120 طريقة

لاحظ ان كل طريقة من هذة الطرق هي ترتيب لثلاثة متسابقين من بين المتسابقين الستة و بالرموز ::
ل(6 , 3)= 6*5*4=120
لاحظ ايضا ان ل(6 , 3) يساوي حاصل ضرب ثلاثة اعداد طبيعية تبدأ بالعدد 6



بوجه عام ::
نظرية ::
ل(ن,ر) = ن(ن-1)(ن-2)* . . . *(ن- ر+1) حيث ر,ن عددان طبيعيان
ر اكبر او تساوي ن

اي ان ل(ن,ر) يساوي حاصل ضرب من الاعداد الطبيعية المتتالية اولها ن و آخرها (ن- ر+1)

البرهان ::
ل(ن,ر) تعني عدد تباديل ن من الاشياء مأخوذة راءً راء ً في كل مرة
فاذا تصورنا راءً من الاماكن الخالية فانة يمكن ملء المكان الاول بطرق عددها ن ويمكن ملء المكان الثاني بطرق عددها ن-1 = ن-(2-1)
ويمكن ملء المكان الثالث ن-2 = ن – (3-1)
وهكذا . . .
و يمكن ملء المكان الاخير ( الرائي ) بطرق عددها ن- (ر-1)=ن- ر+1
اذن يمكن ملء جميع الاماكن بطرق عددها ن(ن-1)(ن-2)* . . . *(ن- ر+1)
اي ان ل(ن,ر) = ن(ن-1)(ن-2)* . . . *(ن- ر+1)
مثال (8::
جد قيمة كل من : ل(10 ,3) , ل(5 ,4)

الحل ::
ل(10 ,3) = 10*9*8 = 720
ل(5 ,4) = 5*4*3*2 = 120



نتيجة (1)::
ل(ن,ر) =ن! \ (ن- ر)!

البرهان ::
ل(ن,ر) = ن(ن-1)(ن-2)* . . . *(ن- ر+1)
و بضرب المقدار (ن-ر)! وبالقسمة علية يكون ::
ل(ن,ر) = ن(ن-1)(ن-2)* . . . *(ن- ر+1) *(ن-ر)!\ (ن-ر)!

= ن! \ (ن- ر)!

نتيجة (2)::
ل(ن , 0 ) = 1


لان :: ل(ن , 0 ) = ن! \ (ن- 0)! (من نتيجة (1) )
= ن!\ن! = 1


مثال(9)::
اذا كان ل(ن,2)=90 فما قيمة ن ؟؟

الحل::
هناك طريقتان لحل هذا المثال ::
الطريقة الاولى ::
الطرف الايمن ل(ن,2) يساوي حاصل ضرب عددين طبيعيين متتاليين اكبرهما ن لذا نكتب الطرف الايسر على صورة حاصل ضرب عاملين متتاليين فيكون اكبرهما = ن
90 = 10*9
ن = 10

الطريقة الثانية ::
ل(ن,2) = ن(ن-1) =90
ن^2- ن = 90
ن^2- ن - 90 = 0
(ن-10)(ن+9) = 0
اما ن = 10 او ن = -9 (ترفض)
اذن ن = 10


مثال(10)::
اذا كان ل(7 , ر) = 840 فما قيمة ر؟؟

الحل ::
الطرف الايمن ل( 7 , ر) = حاصل ضرب ر من الاعداد الطبيعية المتتالية اكبرها 7 , لذا نكتب العدد 840 على صورة حاصل ضرب عوامل متتالية اكبرها 7
فيكون 840 = 7*6*5*4
اي ان ل( 7 , ر) = 7*6*5*4
ر = 4

840\7=120
120\6=20
20\5=4
4\4=1





تمارين ومسائل للذي او للتي تحب ان تجيب ::
1- حل/ي المعادلة ::
ل(ن^2+1 , 3) = 10ن*ل(ن+1, 3)

2- اثبت/ي ان ::
(2ن)!\ن! = 2^ن(1*3*5* . . . *(2ن- 1)


انتهى الدرس الثاني




الدرس الثالث ::

التوافيق ::
الجزء الاول ::

عرفنا ان التباديل هي اختيارات مرتبة يمكن تكوينها من مجموعة من الاشياء مأخزذة كلها او بعضها في كل مرة , وفي بعض الاحيان نحتاج الى اجراء اختيار دون ترتيب كمكا يحصل مثلا عند تشكيل لجنة خماسية من الاعضاء يتم اختيارهم من بين 30 عضو او تكوين مجموعة من 3 عناصر مأخوذة من مجموعة عدد عناصرها 5 عناصر او . . . الخ فهذه الحالات لا يكون الترتيب فيها ذا اهمية


مثال(1)::
بكم طريقة يمكن اختيار 3 كتب من بين خمسة كتب هي :: علوم , رياضيات تكنولوجيا , ادارة ,تاريخ ؟

الحل::
جميع الاختيارات الممكنة هي ::
(علوم , رياضيات , تكنولوجيا ) , (علوم , ادارة ,تاريخ )
(علوم , رياضيات , ادارة ) , (رياضيات , تكنولوجيا , ادارة )
(علوم , رياضيات , تاريخ ) , (رياضيات , ادارة , تاريخ )
(علوم , تكنولوجيا , ادارة ) , ( رياضيات , تكنولوجيا , تاريخ )
(علوم , تكنولوجيا , تاريخ ) , (تكنولوجيا , ادارة , تاريخ )

عدد الاختيارات يساوي 10 , يسمى كل اختيار من هذه الاختيارات توفيقا .
لاحظ ان الترتيب في كل اختيار غير مهم فالاختيار (علوم , رياضيات , تكنولوجيا ) هو نفسة ( رياضيات , علوم , تكنولوجيا) وهو نفسه (تكنولوجيا , رياضيات , علوم ) , . . .

بوجه عام ::
تعريف ::
التوافيق :: هي اختيارات غير مرتبة ( مجموعة جزئية لها عدد العناصر نفسه ) يمكن تكوينها من مجموعة من الاشياء مأخوذة راءً راءً في كل مرة بالرمز
و تقرأ : n فوق r , حيث n , r عددان طبيعيان , r اكبر او تساوي من n

نظرية ::
=
L(n , r ) \ r!


برهان ::
التوافيق هي اختيارات غير مرتبة فاذا ما رتبنا عناصر كل توفيق التى عددها

فانه ينتج لدينا
*r!
من التباديل
اي ان L(n , r ) =
*r!

اذن =
L(n , r ) \ r!

وهو المطلوب


نتيجة (1)::
=
n!\r!*(n-r)!


مثال(1)::
جد قيمة

الحل::
=
ل(7 , 3 ) \3!
7*6*5\3*2*1=35

مثال(2)::
مدرسة فيها 15 معلما , يراد تشكيل لجنة مكونة من 4 معلمين بكم طريقة يتم ذلك ؟

الحل::
عدد طرق تشكيل اللجنة =
=
ل(15 , 4 )\4!=
15*14*13*12\4*3*2*1=1365 طريقة



مثال(3)::
التقى 4 اصدقاء فصافح كل منهم الاخر , كم مصافحة تمت بين الاصدقاء ؟؟

الحل::
عدد المصافحات =
=
ل(4,2)\2! =
4*3\2*1 = 6 مصافحات

اذا رمزنا للاصدقاء الاربعة بالرموز أ , ب , ج , د فان المصافحات بين كل اثنين تمثلها المجموعة الجزئية التالية ::
(أ , ب ) , ( أ , ج ) , ( أ , د) , ( ب , ج ) , ( ب ,د ) , ( ج , د) وهذه 6مجموعات

نتيجة(2)::
=


البرهان ::
الطرف الايمن =
=
ن!\ ر!*(ن- ر)!

الطرف الايسر =

ن!\(ن- ر)!*(ن- (ن – ر )! =
ن!\(ن- ر)!*(ن- ن + ر )! =
ن!\(ن- ر)!* ر!
الطرفان متساويان
وهذه النتيجة تقول ان عدد توافيق ن من العناصر مأخوذة راءً راءً في كل مرة يساوي عدد توافيق ن من العناصر مأخوذة (ن- ر) في كل مرة و هذا واصح لان تكوين مجموعة جزئية من 3 عناصر من بين 10 عناصر مثلا يقابله مباشرة تكوين مجموعة جزئية من 7 عناصر من نفس المجموعة اي ان عدد المجموعات الجزئية الثلاثية لمجموعة مكونة من 10 عناصر مختلفة يساوي عدد المجموعات الجزئية السباعية للمجموعة اي ان ::
=




نتيجة(3)::
اذا كان
=

فان ::
x = y او x + y = n[/b]

الجزء الثاني ::

مثال(5)::
صف مخطلط فيه 10 طالبات , 7 طلاب يراد اختيار لجنة مكونة من 3 طالبات و طالبين . بكم طريقة يتم ذلك ؟

الحل ::
عدد طرق اختيار الطالبات =
=
10!\3!*7! = 10*9*8*7!\3*2*1*7! =
= 120 طريقة

عدد طرق اختيار الطلاب =

=
7!\2!*5! = 7*6*5!\2*5! =
= 21 طريقة

اذن عدد طرق اختيار اللجنة كاملة =

الرجوع الى أعلى الصفحة اذهب الى الأسفل
 
شرح مبسط لدروس " مبدا العد + التباديل + التوافيق " مع امثلة حادي عشر ادبي
استعرض الموضوع السابق استعرض الموضوع التالي الرجوع الى أعلى الصفحة 
صفحة 1 من اصل 1

صلاحيات هذا المنتدى:لاتستطيع الرد على المواضيع في هذا المنتدى
منتدى مدرسة ظهر العبد :: الثانويه العامه :: الصف الحادي عشر :: علوم انسانية :: رياضيات علوم انسانيه حادي عشر-
انتقل الى: